Descubre los 3 métodos de demostración matemática

La demostración matemática es una herramienta fundamental para comprobar la veracidad de una afirmación o teorema. A través de ella se busca evidenciar que una proposición es cierta o falsa, utilizando la lógica y la razón como principales herramientas. Pero, ¿cómo se lleva a cabo una demostración matemática? En este artículo te presentaremos los 3 métodos más comunes para hacerlo.

1. Demostración directa

La demostración directa es el método más sencillo y utilizado en matemáticas. Consiste en partir de las premisas (o hipótesis) para llegar a la conclusión. Es decir, se parte de una afirmación que se sabe que es verdadera y se van realizando operaciones lógicas para llegar a la afirmación que se quiere demostrar.

Por ejemplo, si queremos demostrar que la suma de dos números pares siempre es un número par, podemos utilizar la demostración directa. Partimos de la premisa de que un número par se puede escribir como 2n, donde n es un número entero. Entonces, si tenemos dos números pares, podemos escribirlos como 2n y 2m. La suma de estos dos números sería 2n + 2m, que podemos simplificar como 2(n+m). Como n y m son números enteros, su suma también lo es, por lo tanto, podemos escribir el resultado final como 2k, donde k es un número entero. Y como podemos expresar el resultado final como un número par, hemos demostrado que la suma de dos números pares siempre es un número par.

2. Demostración por contradicción

La demostración por contradicción, también conocida como reducción al absurdo, es un método que se utiliza para demostrar que una afirmación es verdadera, demostrando que su negación es falsa. Esto se hace asumiendo que la afirmación es falsa y llegando a una contradicción lógica.

Por ejemplo, si queremos demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional (es decir, no se puede expresar como una fracción de dos números enteros), podemos utilizar la demostración por contradicción. Supongamos que la raíz cuadrada de 2 se puede expresar como una fracción de dos números enteros, es decir, que existe una fracción p/q (donde p y q son números enteros y no tienen factores comunes) que es igual a la raíz cuadrada de 2. Elevando al cuadrado ambos lados de la ecuación, obtenemos que p^2/q^2 = 2. Esto implica que p^2 es un número par, y como cualquier número par elevado al cuadrado también es par, podemos decir que p es un número par. Si p es par, podemos escribirlo como 2n, donde n es un número entero. Sustituyendo esta expresión en la ecuación original obtenemos que 2n^2/q^2 = 2, lo que implica que n^2/q^2 = 1/2. Pero esto contradice nuestra suposición inicial de que p/q es una fracción en su forma más simple, ya que n^2/q^2 no puede ser simplificado. Por lo tanto, hemos demostrado que la raíz cuadrada de 2 no es racional.

3. Demostración por inducción

La demostración por inducción se utiliza para demostrar que una afirmación es cierta para todos los números naturales. Se parte de la base de que la afirmación es cierta para el primer número natural (generalmente el 1), y luego se demuestra que si es cierta para un número natural n, también lo es para el número n+1.

Por ejemplo, si queremos demostrar que la suma de los primeros n números naturales es n(n+1)/2, podemos utilizar la demostración por inducción. Partimos de la base de que la afirmación es cierta para n=1, ya que la suma de los primeros 1 números naturales es 1, y 1(1+1)/2 = 1. Luego, suponemos que la afirmación es cierta para un número natural k, es decir, que la suma de los primeros k números naturales es k(k+1)/2. Para demostrar que es cierta para el número k+1, sumamos los primeros k+1 números naturales: 1+2+3+...+k+(k+1). Esto es igual a la suma de los primeros k números naturales más k+1. Por lo tanto, podemos escribirlo como k(k+1)/2 + (k+1). Si simplificamos esta expresión, obtenemos que es igual a (k+1)(k+2)/2, lo que demuestra que la afirmación es cierta para todos los números naturales.

Conclusión

La demostración matemática es una herramienta fundamental en el campo de las matemáticas. A través de ella, se busca comprobar la veracidad de una afirmación o teorema utilizando la lógica y la razón. En este artículo, hemos presentado los 3 métodos más comunes de demostración matemática: la demostración directa, la demostración por contradicción y la demostración por inducción. Cada uno de estos métodos tiene sus propias ventajas y desventajas, y es importante saber cuál utilizar en cada situación.

Preguntas frecuentes

¿Por qué es importante la demostración matemática?

La demostración matemática es importante porque nos permite comprobar la veracidad de una afirmación o teorema utilizando la lógica y la razón. Esto nos ayuda a entender mejor los conceptos matemáticos y a desarrollar nuevas teorías y descubrimientos.

¿Todos los teoremas se pueden demostrar matemáticamente?

No todos los teoremas se pueden demostrar matemáticamente. Existen algunos teoremas que son conocidos como teoremas de incompletitud, los cuales establecen que hay afirmaciones que no se pueden demostrar ni refutar utilizando la lógica y la razón.

¿Cómo se sabe si una demostración matemática es correcta?

Para saber si una demostración matemática es correcta, es necesario revisar cada uno de los pasos que se han utilizado y comprobar que sean válidos y lógicos. También es importante buscar posibles errores o fallos en la demostración y corregirlos si es necesario.

¿Qué sucede si una demostración matemática es incorrecta?

Si una demostración matemática es incorrecta, significa que la afirmación o teorema que se quería demostrar no ha sido comprobado de manera satisfactoria. En este caso, es necesario revisar la demostración y corregir los errores para poder obtener una demostración correcta.

¿Qué otros métodos de demostración matemática existen?

Además de los métodos de demostración matemática que se han presentado en este artículo, existen otros métodos como la demostración por contraposición, la demostración por casos, la demostración por exhaustividad, entre otros. Cada uno de estos métodos tiene sus propias características y se utiliza en diferentes situ