Descubre las razones detrás del fallo del teorema de Fubini

El teorema de Fubini es un teorema fundamental en análisis matemático que establece las condiciones bajo las cuales se puede cambiar el orden de integración en una integral doble o triple. Sin embargo, a veces el teorema falla y no se puede intercambiar el orden de integración. En este artículo, exploraremos las razones detrás del fallo del teorema de Fubini.

¿Qué es el teorema de Fubini?

El teorema de Fubini establece que si f(x,y) es una función integrable en un rectángulo R en el plano xy, entonces la integral doble de f(x,y) sobre R se puede calcular de dos maneras:

- Integrando primero en x y luego en y
- Integrando primero en y y luego en x

Es decir, la integral doble de f(x,y) sobre R es igual a la integral de la integral de f(x,y) primero en x y luego en y o primero en y y luego en x.

Este teorema es muy útil en el cálculo de integrales dobles y triples, ya que permite simplificar los cálculos. Sin embargo, no siempre se puede intercambiar el orden de integración.

¿Por qué falla el teorema de Fubini?

El teorema de Fubini falla cuando la función f(x,y) no es integrable en el rectángulo R o cuando el rectángulo R no es adecuado para la función f(x,y).

Función no integrable

Una función f(x,y) no es integrable en un rectángulo R si no cumple con las condiciones de integrabilidad de Riemann. Estas condiciones establecen que la función debe ser acotada y tener un conjunto de discontinuidades de medida cero.

Por ejemplo, la función f(x,y) = 1/(x+y) no es integrable en el rectángulo R = [0,1]x[0,1], ya que la integral doble diverge. Por lo tanto, el teorema de Fubini no se puede aplicar a esta función en este rectángulo.

Rectángulo no adecuado para la función

Incluso si la función f(x,y) es integrable en un rectángulo R, el teorema de Fubini puede fallar si el rectángulo no es adecuado para la función.

Por ejemplo, considera la función f(x,y) = x/(x^2+y^2). Esta función es continua en todo el plano xy excepto en el origen. Sin embargo, si intentamos calcular la integral doble de f(x,y) sobre el rectángulo R = [-1,1]x[-1,1], el teorema de Fubini no se puede aplicar, ya que la función no es acotada en el eje y. Por lo tanto, el teorema de Fubini no se puede aplicar a esta función en este rectángulo.

Ejemplo de cálculo de integral con el teorema de Fubini

Veamos un ejemplo de cómo se puede aplicar el teorema de Fubini para calcular una integral doble.

Considera la función f(x,y) = x^2 + y^2 sobre el rectángulo R = [0,1]x[0,1]. Queremos calcular la integral doble de f(x,y) sobre R.

Primero, integramos f(x,y) en x desde 0 hasta 1:

∫[0,1] (x^2 + y^2) dx = (1/3)x^3 + xy^2 |[0,1] = (1/3) + y^2/2

Luego, integramos esta expresión en y desde 0 hasta 1:

∫[0,1] (1/3 + y^2/2) dy = (1/3)y + (1/6)y^3 |[0,1] = 5/6

Por lo tanto, la integral doble de f(x,y) sobre R es igual a 5/6.

Conclusión

El teorema de Fubini es un teorema fundamental en análisis matemático que establece las condiciones bajo las cuales se puede cambiar el orden de integración en una integral doble o triple. Sin embargo, el teorema puede fallar si la función no es integrable en el rectángulo o si el rectángulo no es adecuado para la función. Es importante tener en cuenta estas condiciones al aplicar el teorema de Fubini en cálculos de integrales.

Preguntas frecuentes

¿Por qué la función f(x,y) = 1/(x+y) no es integrable en el rectángulo R = [0,1]x[0,1]?

La función f(x,y) = 1/(x+y) no cumple con las condiciones de integrabilidad de Riemann, ya que no es acotada en el rectángulo R. Por lo tanto, la integral doble de f(x,y) sobre R diverge y el teorema de Fubini no se puede aplicar.

¿Cuáles son las condiciones de integrabilidad de Riemann?

Las condiciones de integrabilidad de Riemann establecen que la función debe ser acotada y tener un conjunto de discontinuidades de medida cero.

¿Por qué la función f(x,y) = x/(x^2+y^2) no es adecuada para el rectángulo R = [-1,1]x[-1,1]?

Aunque la función f(x,y) es continua en todo el plano xy excepto en el origen, no es acotada en el eje y. Por lo tanto, el teorema de Fubini no se puede aplicar a esta función en este rectángulo.

¿Cómo se aplica el teorema de Fubini para calcular integrales dobles?

Primero se integra la función en una variable y se trata la otra variable como una constante. Luego se integra el resultado de la primera integral en la otra variable.